Pesquisa

Desenvolvimentos de métodos e algoritmos de inversão

Muitos dos problemas de modelagem numérica, a exemplo dos métodos de diferenças finitas, elementos finitos ou tomografia sísmica, requerem a solução de sistemas de equações, cuja dimensão pode atingir a ordem de algumas dezenas ou centenas de milhares de equações. Sistemas gigantescos de equações, esparsos ou não, também aparecem na solução de problemas inversos em geofísica, que utilizam métodos tipo-gradiente (Gauss-Newton, Newton).

Para lidarmos com problemas geofísicos 2D/3D, representando situações geológicas realistas, precisamos de algoritmos rápidos, robustos e que possam, portanto, tirar proveito das facilidades de computação paralela, hoje disponíveis nos Clusters de PCs. Uma classe especial de algoritmos recursivos tipo-Levinson (Levinson, 1947) vem sendo desenvolvida nas últimas décadas. Mesmo quando a matriz dos coeficientes não possui nenhuma estrutura especial além da simetria, ainda assim o princípio utilizado na recursão de Levinson pode ser empregado Porsani e Ulrych, 1991). Recentemente, Porsani et al. 2008, estendeu aquele método para a solução de sistemas particionados. A estrutura desse novo algoritmo é apropriada para obtenção da solução dos sistemas através de multiprocessadores ou computação paralela. Essa abordagem desperta grande interesse na inversão de dados geofísicos uma vez que permite resolver sistemas de grande porte de forma rápida.

A Figura 1 ilustra a estrutura do algoritmo para a solução de um sistema particionado de ordem L. Os elementos Mj, Dj e Fj representam soluções de subsistemas menores. O algoritmo gera a solução final fazendo combinação linear das soluções menores, associadas às partições do sistema original. Sistemas de equações com dezenas ou centenas de milhares de equações podem ser particionados e as soluções dos subsistemas menores podem ser obtidas em processadores individuais, dividindo a carga computacional e reduzindo o tempo da inversão. O algoritmo é numericamente estável e representa uma generalização de trabalhos anteriores (Porsani et al, 2008).

Esse novo algoritmo será testado e validado na solução de sistemas lineares de grande porte relacionados com tomografia de tempo de difração. Os trabalhos de implementação e testes serão conduzidos por pesquisadores da UFBA e UFPA.

Figura 1 – Representação esquemática mostrando o encadeamento das soluções menores que pode ser explorada por multiprocessadores. Ao final de L passos (L= número de partições do sistema original) a solução final é obtida.